Analysis Beispiele

$y = \ln (\sqrt{x})$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \ln (\sqrt{x})$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Setze das Argument in $\ln (\sqrt{x})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\sqrt{x} > 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x}}^{2} > 0^{2}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} > 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Vereinfache.

$x > 0^{2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x > 0$

Schritt 1.2.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.2.3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 1.2.4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x > 0$

Schritt 1.3

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $0$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \ln (\sqrt{x})$ ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \ln (\sqrt{0})$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$f (0) = \ln (\sqrt{0})$

Schritt 2.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (0) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

Schritt 2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = \ln (0)$

Schritt 2.5

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

$f (0) = Undefined$

Undefiniert

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = \ln (\sqrt{x})$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{1})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (1) = \ln (\sqrt{1})$

Schritt 4.1.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = \ln (1)$

Schritt 4.1.2.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = 0$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = \ln (\sqrt{x})$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, \ln (\sqrt{2}))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \ln (\sqrt{2})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Entferne die Klammern.

$f (2) = \ln (\sqrt{2})$

Schritt 4.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (\sqrt{2})$ .

$y = \ln (\sqrt{2})$

Schritt 4.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(0, Undefined), (1, 0), (2, 0.35)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.35 \end{array}$

Schritt 5