Analysis Beispiele

$y = x \sqrt{8 - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = x \sqrt{8 - x^{2}}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{8 - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$8 - x^{2} \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 8$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 8$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 8$

Schritt 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{8}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{8}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{8}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$| x | \leq \sqrt{4 (2)}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq | 2 | \sqrt{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5

Schreibe $| x | \leq 2 \sqrt{2}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 1.2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.2.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 2 \sqrt{2}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.7

Löse $- x \leq 2 \sqrt{2}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 1.2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 2 \sqrt{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 2 \sqrt{2}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 1.2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.7.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Schritt 1.2.7.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ als $- (2 \sqrt{2})$ um.

$x \geq - (2 \sqrt{2})$

Schritt 1.2.7.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x \geq - 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - 2 \sqrt{2}$ und $x < 0$ .

$- 2 \sqrt{2} \leq x < 0$

Schritt 1.2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Intervallschreibweise:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Schritt 2

Um die Endpunkte zu finden, setze die Schranken der $x$ -Werte des Definitionsbereichs in $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = (- 2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{2}$ an.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - ({(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

Schritt 2.2.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 2.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Schritt 2.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Schritt 2.2.3

Multipliziere $- (4 \cdot 2)$ .

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

Schritt 2.2.4

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

Schritt 2.2.5

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \cdot 0$

Schritt 2.2.7

Multipliziere $- 2 \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Schritt 2.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Schritt 2.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0$

Schritt 2.2.8

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = (2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{2}$ an.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (2^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Schritt 2.4.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

Schritt 2.4.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 2.4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Schritt 2.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 2.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 2.4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Schritt 2.4.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Schritt 2.4.3

Multipliziere $- (4 \cdot 2)$ .

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

Schritt 2.4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

Schritt 2.4.4

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

Schritt 2.4.5

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \cdot 0$

Schritt 2.4.7

Multipliziere $2 \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Schritt 2.4.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Schritt 2.4.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 0$

Schritt 2.4.8

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3

Die Endpunkte sind $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$ .

$(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $- 1.82842712$ in $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1.82842712, - 3.94569924)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.82842712$ .

$f (- 1.82842712) = (- 1.82842712) \sqrt{8 - {(- 1.82842712)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $- 1.82842712$ mit $2$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 3.34314575}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3.34314575$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 3.34314575}$

Schritt 4.1.2.1.3

Subtrahiere $3.34314575$ von $8$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{4.65685424}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 1.82842712$ mit $\sqrt{4.65685424}$ .

$f (- 1.82842712) = - 3.94569924$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3.94569924$ .

$y = - 3.94569924$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $- 0.82842712$ in $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 0.82842712, - 2.24038746)$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.82842712$ .

$f (- 0.82842712) = (- 0.82842712) \sqrt{8 - {(- 0.82842712)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $- 0.82842712$ mit $2$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.6862915}$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.6862915$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 0.6862915}$

Schritt 4.2.2.1.3

Subtrahiere $0.6862915$ von $8$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{7.31370849}$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $- 0.82842712$ mit $\sqrt{7.31370849}$ .

$f (- 0.82842712) = - 2.24038746$

Schritt 4.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2.24038746$ .

$y = - 2.24038746$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $0.17157287$ in $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0.17157287, 0.48438771)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.17157287$ .

$f (0.17157287) = (0.17157287) \sqrt{8 - {(0.17157287)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $0.17157287$ mit $2$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.02943725}$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.02943725$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 0.02943725}$

Schritt 4.3.2.1.3

Subtrahiere $0.02943725$ von $8$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{7.97056274}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $0.17157287$ mit $\sqrt{7.97056274}$ .

$f (0.17157287) = 0.48438771$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.48438771$ .

$y = 0.48438771$

Schritt 4.4

Setze den $x$ -Wert $1.17157287$ in $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1.17157287, 3.01607027)$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.17157287$ .

$f (1.17157287) = (1.17157287) \sqrt{8 - {(1.17157287)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.2.1.1

Potenziere $1.17157287$ mit $2$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 1.372583}$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.372583$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1.372583}$

Schritt 4.4.2.1.3

Subtrahiere $1.372583$ von $8$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{6.62741699}$

Schritt 4.4.2.2

Mutltipliziere $1.17157287$ mit $\sqrt{6.62741699}$ .

$f (1.17157287) = 3.01607027$

Schritt 4.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $3.01607027$ .

$y = 3.01607027$

Schritt 4.5

Setze den $x$ -Wert $2.17157287$ in $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2.17157287, 3.93544563)$ .

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Schritt 4.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.17157287$ .

$f (2.17157287) = (2.17157287) \sqrt{8 - {(2.17157287)}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.5.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.2.1.1

Potenziere $2.17157287$ mit $2$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 4.71572875}$

Schritt 4.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4.71572875$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 4.71572875}$

Schritt 4.5.2.1.3

Subtrahiere $4.71572875$ von $8$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{3.28427124}$

Schritt 4.5.2.2

Mutltipliziere $2.17157287$ mit $\sqrt{3.28427124}$ .

$f (2.17157287) = 3.93544563$

Schritt 4.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $3.93544563$ .

$y = 3.93544563$

Schritt 4.6

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0), (- 1.82842712, - 3.95), (- 0.82842712, - 2.24), (0.17157287, 0.48), (1.17157287, 3.02), (2.17157287, 3.94)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 \sqrt{2} & 0 \\ - 1.828 & - 3.95 \\ - 0.828 & - 2.24 \\ 0.172 & 0.48 \\ 1.172 & 3.02 \\ 2.172 & 3.94 \\ 2 \sqrt{2} & 0 \end{array}$

Schritt 5