Analysis Beispiele

$y = \log (2 x + 7) - 5$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\log (2 x + 7) - 5$ nicht definiert ist.

$x \leq - \frac{7}{2}$

Schritt 1.2

Da $\log (2 x + 7) - 5$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- \frac{7}{2}$ von links und $\log (2 x + 7) - 5$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- \frac{7}{2}$ von rechts, dann ist $x = - \frac{7}{2}$ eine vertikale Asymptote.

$x = - \frac{7}{2}$

Schritt 1.3

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 1.4

Es gibt keine horizontalen Asymptoten, da $Q (x)$ $1$ ist.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 1.5

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{7}{2}$

Keine horizontalen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{7}{2}$

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = - 2$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \log (2 (- 2) + 7) - 5$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = \log (- 4 + 7) - 5$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $- 4$ und $7$ .

$f (- 2) = \log (3) - 5$

Schritt 2.2.2

Die endgültige Lösung ist $\log (3) - 5$ .

$\log (3) - 5$

Schritt 2.3

Konvertiere $\log (3) - 5$ nach Dezimal.

$y = - 4.52287874$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = - 1$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \log (2 (- 1) + 7) - 5$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = \log (- 2 + 7) - 5$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $- 2$ und $7$ .

$f (- 1) = \log (5) - 5$

Schritt 3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\log (5) - 5$ .

$\log (5) - 5$

Schritt 3.3

Konvertiere $\log (5) - 5$ nach Dezimal.

$y = - 4.30102999$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \log (2 (0) + 7) - 5$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = \log (0 + 7) - 5$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $0$ und $7$ .

$f (0) = \log (7) - 5$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\log (7) - 5$ .

$\log (7) - 5$

Schritt 4.3

Konvertiere $\log (7) - 5$ nach Dezimal.

$y = - 4.15490195$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = - \frac{7}{2}$ und den Punkten $(- 2, - 4.52287874), (- 1, - 4.30102999), (0, - 4.15490195)$ .

Vertikale Asymptote: $x = - \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 4.523 \\ - 1 & - 4.301 \\ 0 & - 4.155 \end{array}$

Schritt 6