Analysis Beispiele

$\frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x - 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x - 1 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \geq 1$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Schritt 1.3

Setze den Nenner in $\frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x - 1 = 0$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 1.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(\frac{1}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > \frac{1}{2}}$

Intervallschreibweise:

$(\frac{1}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > \frac{1}{2}}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $\frac{1}{2}$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{1 - 1}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{0}$

Schritt 2.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

$f (\frac{1}{2}) = Undefined$

Undefiniert

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(\frac{1}{2}, Undefined)$ .

$(\frac{1}{2}, Undefined)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 1)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{(1) \sqrt{2 (1) - 1}}{2 (1) - 1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $\sqrt{2 (1) - 1}$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{2 (1) - 1}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{2 - 1}$

Schritt 4.1.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{1}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 - 1}}{1}$

Schritt 4.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{1}}{1}$

Schritt 4.1.2.3.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1}$

Schritt 4.1.2.4

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f (1) = 1$

Schritt 4.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{(2) \sqrt{2 (2) - 1}}{2 (2) - 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{4 - 1}}{2 (2) - 1}$

Schritt 4.2.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{2 (2) - 1}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{4 - 1}$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $3$ in $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(3, \frac{3 \sqrt{5}}{5})$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{(3) \sqrt{2 (3) - 1}}{2 (3) - 1}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{6 - 1}}{2 (3) - 1}$

Schritt 4.3.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{2 (3) - 1}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{6 - 1}$

Schritt 4.3.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.4

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(0.5, Undefined), (1, 1), (2, 1.15), (3, 1.34)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 0.5 & Undefined \\ 1 & 1 \\ 2 & 1.15 \\ 3 & 1.34 \end{array}$

Schritt 5