Analysis Beispiele

$f (t) = 10 e^{\frac{1}{2} t}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t$ .

$\frac{d}{d t} [10 e^{\frac{t}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $10 e^{\frac{t}{2}}$ nach $t$ gleich $10 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = \frac{t}{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{t}{2}$ .

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$10 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{t}{2}$ .

$10 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t}{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$10 e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $10$ .

$\frac{10}{2} e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{10}{2}$ und $e^{\frac{t}{2}}$ .

$\frac{10 e^{\frac{t}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $10 e^{\frac{t}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (5 e^{\frac{t}{2}})}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (5 e^{\frac{t}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 e^{\frac{t}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 e^{\frac{t}{2}}}{1} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.2.3.2.4

Dividiere $5 e^{\frac{t}{2}}$ durch $1$ .

$5 e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 e^{\frac{t}{2}} \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 e^{\frac{t}{2}}$