Analysis Beispiele

$e^{x} \ln (x^{8})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \ln (x^{8})$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{8})] + \ln (x^{8}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{8}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{8}$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \ln (x^{8}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \ln (x^{8}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{8}$ .

$e^{x} (\frac{1}{x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \ln (x^{8}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{8}}$ und $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \ln (x^{8}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$\frac{e^{x}}{x^{8}} (8 x^{7}) + \ln (x^{8}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $8$ und $\frac{e^{x}}{x^{8}}$ .

$\frac{8 e^{x}}{x^{8}} x^{7} + \ln (x^{8}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{8 e^{x}}{x^{8}}$ und $x^{7}$ .

$\frac{8 e^{x} x^{7}}{x^{8}} + \ln (x^{8}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{7}$ und $x^{8}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $x^{7}$ aus $8 e^{x} x^{7}$ heraus.

$\frac{x^{7} (8 e^{x})}{x^{8}} + \ln (x^{8}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.2.1

Faktorisiere $x^{7}$ aus $x^{8}$ heraus.

$\frac{x^{7} (8 e^{x})}{x^{7} x} + \ln (x^{8}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{7} (8 e^{x})}{x^{7} x} + \ln (x^{8}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 e^{x}}{x} + \ln (x^{8}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{8 e^{x}}{x} + \ln (x^{8}) e^{x}$

Schritt 5

Stelle die Terme um.

$e^{x} \ln (x^{8}) + \frac{8 e^{x}}{x}$