Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{2} + x}$

Schritt 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} + x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + x \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x + x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Schritt 1.2.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$x (x + 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1$

Schritt 1.2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 1.2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 1.2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 4)}^{2} - 4 \geq 0$

Schritt 1.2.8.1.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.5$

Schritt 1.2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 0.5)}^{2} - 0.5 \geq 0$

Schritt 1.2.8.2.3

Die linke Seite $- 0.25$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 1.2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(2)}^{2} + 2 \geq 0$

Schritt 1.2.8.3.3

Die linke Seite $6$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

Schritt 1.2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 1$ oder $x \geq 0$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1] \cup [0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 1, x \geq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1] \cup [0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 1, x \geq 0}$

Schritt 2

Da der Definitionsbereich nicht alle reellen Zahlen umfasst, ist $\sqrt{x^{2} + x}$ nicht stetig auf der Menge der reellen Zahlen.

Nicht stetig

Schritt 3