Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 49}$

Schritt 1

Ermittle den Definitionsbereich, um festzustellen, ob der Ausdruck stetig ist.

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{4 x}{x^{2} + 49}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 49 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $49$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 49$

Schritt 1.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 49}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $- 49$ als $- 1 (49)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (49)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

Schritt 1.2.3.4

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Schritt 1.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 7$

Schritt 1.2.3.6

Bringe $7$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 7 i$

Schritt 1.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 7 i$

Schritt 1.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 7 i$

Schritt 1.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 7 i, - 7 i$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

Da der Definitionsbereich alle reellen Zahlen umfasst, ist $\frac{4 x}{x^{2} + 49}$ für alle reellen Zahlen stetig.

Stetig

Schritt 3