Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Ermittle den Definitionsbereich, um festzustellen, ob der Ausdruck stetig ist.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} - 9}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 9 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $9$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq 9$

Schritt 1.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{9}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt{9}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{9}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| x | \geq \sqrt{3^{2}}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq | 3 |$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$| x | \geq 3$

Schritt 1.2.4

Schreibe $| x | \geq 3$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.2.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.2.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq 3$

Schritt 1.2.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 1.2.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq 3$

Schritt 1.2.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq 3 & x \geq 0 \\ - x \geq 3 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.2.5

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 3$ und $x \geq 0$ .

$x \geq 3$

Schritt 1.2.6

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Teile jeden Term in $- x \geq 3$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{3}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{3}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{3}{- 1}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.3.1

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$x \leq - 3$

Schritt 1.2.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - 3$ oder $x \geq 3$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 3, x \geq 3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 3, x \geq 3}$

Schritt 2

Da der Definitionsbereich nicht alle reellen Zahlen umfasst, ist $\sqrt{x^{2} - 9}$ nicht stetig auf der Menge der reellen Zahlen.

Nicht stetig

Schritt 3