Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Schritt 1

Ermittle den Definitionsbereich, um festzustellen, ob der Ausdruck stetig ist.

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 1}{x^{2} + x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + x - 2 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 1) (x + 2) = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 2$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 1, - 2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 1, - 2}$

Schritt 2

Da der Definitionsbereich nicht alle reellen Zahlen umfasst, ist $\frac{x - 1}{x^{2} + x - 2}$ nicht stetig auf der Menge der reellen Zahlen.

Nicht stetig

Schritt 3