Analysis Beispiele

$y = \frac{5 x \tan (x)}{x^{2} + 4}$

Schritt 1

Ermittle den Definitionsbereich, um festzustellen, ob der Ausdruck stetig ist.

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{5 x \tan (x)}{x^{2} + 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 4$

Schritt 1.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 1.2.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 1.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 2$

Schritt 1.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i$

Schritt 1.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i$

Schritt 1.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i$

Schritt 1.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i, - 2 i$

Schritt 1.3

Setze das Argument in $\tan (x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ , für jede Ganzzahl $n$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Da der Definitionsbereich nicht alle reellen Zahlen umfasst, ist $\frac{5 x \tan (x)}{x^{2} + 4}$ nicht stetig auf der Menge der reellen Zahlen.

Nicht stetig

Schritt 3