Analysis Beispiele

$h (x) = \frac{1}{\sqrt{7 x^{2} + 6}}$

Schritt 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{7 x^{2} + 6}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$7 x^{2} + 6 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$7 x^{2} \geq - 6$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x^{2} \geq - 6$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x^{2} \geq - 6$ durch $7$ .

$\frac{7 x^{2}}{7} \geq \frac{- 6}{7}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x^{2}}{7} \geq \frac{- 6}{7}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 6}{7}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} \geq - \frac{6}{7}$

Schritt 1.2.3

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 1.3

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt{7 x^{2} + 6}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{7 x^{2} + 6} = 0$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{7 x^{2} + 6}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 x^{2} + 6}$ als ${(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache ${({(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(7 x^{2} + 6)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Vereinfache.

$7 x^{2} + 6 = 0^{2}$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$7 x^{2} + 6 = 0$

Schritt 1.4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.3.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x^{2} = - 6$

Schritt 1.4.3.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x^{2} = - 6$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x^{2} = - 6$ durch $7$ .

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{- 6}{7}$

Schritt 1.4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 1.4.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{- 6}{7}$

Schritt 1.4.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{7}$

Schritt 1.4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{6}{7}$

Schritt 1.4.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{6}{7}}$

Schritt 1.4.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{6}{7}}$ .

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Schritt 1.4.3.4.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{6}{7}}$

Schritt 1.4.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{6}{7}}$

Schritt 1.4.3.4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{6}{7}}$ als $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$

Schritt 1.4.3.4.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Schritt 1.4.3.4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.3.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 1.4.3.4.5.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Schritt 1.4.3.4.5.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Schritt 1.4.3.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.4.3.4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Schritt 1.4.3.4.5.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 1.4.3.4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.4.3.4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.4.3.4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.3.4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.3.4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.3.4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Schritt 1.4.3.4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

Schritt 1.4.3.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.3.4.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm i \frac{\sqrt{6 \cdot 7}}{7}$

Schritt 1.4.3.4.6.2

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{42}}{7}$

Schritt 1.4.3.4.7

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{42}}{7}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{7}$

Schritt 1.4.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.4.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{7}$

Schritt 1.4.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{42}}{7}$

Schritt 1.4.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{7}, - \frac{i \sqrt{42}}{7}$

Schritt 1.5

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

Da der Definitionsbereich alle reellen Zahlen umfasst, ist $\frac{1}{\sqrt{7 x^{2} + 6}}$ für alle reellen Zahlen stetig.

Stetig

Schritt 3