Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 2}}$

Schritt 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{x}{x - 2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x}{x - 2} \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.3

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 2$

Schritt 1.2.4

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 2$

Schritt 1.2.5

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x}{x - 2}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 1.2.6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 1.2.7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.2.7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 1.2.7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 2}{(- 2) - 2} \geq 0$

Schritt 1.2.7.1.3

Die linke Seite $0.5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.2.7.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 1.2.7.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{(1) - 2} \geq 0$

Schritt 1.2.7.2.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.2.7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 1.2.7.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{(4) - 2} \geq 0$

Schritt 1.2.7.3.3

Die linke Seite $2$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.2.7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 1.2.8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 0$ oder $x > 2$

Schritt 1.3

Setze den Nenner in $\frac{x}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 1.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0] \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 0, x > 2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0] \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 0, x > 2}$

Schritt 2

Da der Definitionsbereich nicht alle reellen Zahlen umfasst, ist $\sqrt{\frac{x}{x - 2}}$ nicht stetig auf der Menge der reellen Zahlen.

Nicht stetig

Schritt 3