Analysis Beispiele

$f (x) = \tan^{5} (x^{5})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = \tan (x^{5})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (x^{5})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\tan (x^{5})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\tan (x^{5})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (x^{5})$ .

$5 \tan^{4} (x^{5}) \frac{d}{d x} [\tan (x^{5})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x^{5}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{5}$ .

$5 \tan^{4} (x^{5}) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$5 \tan^{4} (x^{5}) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{5}$ .

$5 \tan^{4} (x^{5}) (\sec^{2} (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 \tan^{4} (x^{5}) \sec^{2} (x^{5}) (5 x^{4})$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 \tan^{4} (x^{5}) \sec^{2} (x^{5}) x^{4}$

Schritt 3.2.2

Stelle die Faktoren von $25 \tan^{4} (x^{5}) \sec^{2} (x^{5}) x^{4}$ um.

$25 x^{4} \tan^{4} (x^{5}) \sec^{2} (x^{5})$