Analysis Beispiele

$y = 2 \cot (2 x - 5 π) + 2$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \cot (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \cot (x)$ , $(0, π)$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 2 \cot (2 x - 5 π) + 2$ zu bestimmen. Setze das Innere der Kotangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \cot (b x + c) + d$ gleich $0$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = 2 \cot (2 x - 5 π) + 2$ auftritt.

$2 x - 5 π = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $5 π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5 π$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5 π$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5 π$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5 π}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5 π}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Kotangensfunktion $2 x - 5 π$ gleich $π$ .

$2 x - 5 π = π$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1.1

Addiere $5 π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = π + 5 π$

Schritt 1.4.1.2

Addiere $π$ und $5 π$ .

$2 x = 6 π$

Schritt 1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 6 π$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 6 π$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6 π}{2}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6 π}{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6 π}{2}$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 1.4.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 π$ heraus.

$x = \frac{2 (3 π)}{2}$

Schritt 1.4.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (3 π)}{2 (1)}$

Schritt 1.4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (3 π)}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3 π}{1}$

Schritt 1.4.2.3.1.2.4

Dividiere $3 π$ durch $1$ .

$x = 3 π$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = 2 \cot (2 x - 5 π) + 2$ tritt auf bei $(\frac{5 π}{2}, 3 π)$ , wobei $\frac{5 π}{2}$ und $3 π$ vertikale Asymptoten sind.

$(\frac{5 π}{2}, 3 π)$

Schritt 1.6

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = 2 \cot (2 x - 5 π) + 2$ treten auf bei $\frac{5 π}{2}$ , $3 π$ und aller $x = \frac{5 π}{2} + \frac{π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = \frac{5 π}{2} + \frac{π n}{2}$

Schritt 1.8

Der Kotangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{5 π}{2} + \frac{π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{5 π}{2} + \frac{π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \cot (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 2$

$b = 2$

$c = 5 π$

$d = 2$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $c o t$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{π}{| b |}$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Periode von $2 \cot (2 x - 5 π)$ .

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Schritt 4.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.1.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 2 |}$

Schritt 4.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 4.2

Ermittele die Periode von $2$ .

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Schritt 4.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 2 |}$

Schritt 4.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 4.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$\frac{π}{2}$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{5 π}{2}$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $\frac{π}{2}$

Phasenverschiebung: $\frac{5 π}{2}$ ( $\frac{5 π}{2}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $2$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{5 π}{2} + \frac{π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $\frac{π}{2}$

Phasenverschiebung: $\frac{5 π}{2}$ ( $\frac{5 π}{2}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $2$

Schritt 8