Analysis Beispiele

$x = 3 y^{2} - 4 y$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $3 y^{2} - 4 y$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 3$

$b = - 4$

$c = 0$

Schritt 1.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (3)}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{3}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 3$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (3)}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{4}{3}$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Subtrahiere $\frac{4}{3}$ von $0$ .

$e = - \frac{4}{3}$

Schritt 1.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $3 {(y - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{3}$ ein.

$3 {(y - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{3}$

Schritt 1.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = 3 {(y - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{3}$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 3$

$h = - \frac{4}{3}$

$k = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{12}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{5}{4}, \frac{2}{3})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{17}{12}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

Brennpunkt: $(- \frac{5}{4}, \frac{2}{3})$

Symmetrieachse: $y = \frac{2}{3}$

Leitlinie: $x = - \frac{17}{12}$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

Brennpunkt: $(- \frac{5}{4}, \frac{2}{3})$

Symmetrieachse: $y = \frac{2}{3}$

Leitlinie: $x = - \frac{17}{12}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Setze den $x$ -Wert $- 0.\overline{3}$ in $f (x) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 - 3 x)}}{3}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 0.33333333, \frac{2 + \sqrt{3}}{3})$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.\overline{3}$ .

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 - 3 \cdot - 0.\overline{3})}}{3}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 0.\overline{3}$ .

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 + 1)}}{3}$

Schritt 2.1.2.1.2

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 \cdot - 3}}{3}$

Schritt 2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 + \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2 + \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{2 + \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.2

Setze den $x$ -Wert $- 0.\overline{3}$ in $f (x) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 - 3 x)}}{3}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 0.33333333, \frac{2 - \sqrt{3}}{3})$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.\overline{3}$ .

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 - 3 \cdot - 0.\overline{3})}}{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 0.\overline{3}$ .

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 + 1)}}{3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 \cdot - 3}}{3}$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 - \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2 - \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{2 - \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3

Setze den $x$ -Wert $0.\overline{6}$ in $f (x) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 - 3 x)}}{3}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0.\overline{6}, \frac{2 + \sqrt{6}}{3})$ .

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Schritt 2.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.\overline{6}$ .

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 - 3 \cdot 0.\overline{6})}}{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.\overline{6}$ .

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 - 2)}}{3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 \cdot - 6}}{3}$

Schritt 2.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2 + \sqrt{6}}{3}$ .

$y = \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.4

Setze den $x$ -Wert $0.\overline{6}$ in $f (x) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 - 3 x)}}{3}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0.\overline{6}, \frac{2 - \sqrt{6}}{3})$ .

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Schritt 2.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.\overline{6}$ .

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 - 3 \cdot 0.\overline{6})}}{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.\overline{6}$ .

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 - 2)}}{3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 \cdot - 6}}{3}$

Schritt 2.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 - \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2 - \sqrt{6}}{3}$ .

$y = \frac{2 - \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{4}{3} & \frac{2}{3} \\ - 0.333 & 1.24 \\ - 0.333 & 0.09 \\ 0.667 & 1.48 \\ 0.667 & - 0.15 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

Brennpunkt: $(- \frac{5}{4}, \frac{2}{3})$

Symmetrieachse: $y = \frac{2}{3}$

Leitlinie: $x = - \frac{17}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{4}{3} & \frac{2}{3} \\ - 0.333 & 1.24 \\ - 0.333 & 0.09 \\ 0.667 & 1.48 \\ 0.667 & - 0.15 \end{array}$

Schritt 4