Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 3} x^{2} - 16 + \sqrt[3]{x^{2} - 36}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$lim_{x \to - 3} x^{2} - lim_{x \to - 3} 16 + lim_{x \to - 3} \sqrt[3]{x^{2} - 36}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - lim_{x \to - 3} 16 + lim_{x \to - 3} \sqrt[3]{x^{2} - 36}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

${(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 16 + lim_{x \to - 3} \sqrt[3]{x^{2} - 36}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

${(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 16 + \sqrt[3]{lim_{x \to - 3} x^{2} - 36}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

${(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 16 + \sqrt[3]{lim_{x \to - 3} x^{2} - lim_{x \to - 3} 36}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 16 + \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - lim_{x \to - 3} 36}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $36$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

${(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 16 + \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 36}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 3$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

${(- 3)}^{2} - 1 \cdot 16 + \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 36}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

${(- 3)}^{2} - 1 \cdot 16 + \sqrt[3]{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 36}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$9 - 1 \cdot 16 + \sqrt[3]{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 36}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$9 - 16 + \sqrt[3]{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 36}$

Schritt 9.1.3

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$9 - 16 + \sqrt[3]{9 - 1 \cdot 36}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$9 - 16 + \sqrt[3]{9 - 36}$

Schritt 9.1.5

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$9 - 16 + \sqrt[3]{- 27}$

Schritt 9.1.6

Schreibe $- 27$ als ${(- 3)}^{3}$ um.

$9 - 16 + \sqrt[3]{{(- 3)}^{3}}$

Schritt 9.1.7

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$9 - 16 - 3$

Schritt 9.2

Subtrahiere $16$ von $9$ .

$- 7 - 3$

Schritt 9.3

Subtrahiere $3$ von $- 7$ .

$- 10$