Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{e^{2 x}}{x^{10}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{2 x}$ und $g (x) = x^{10}$ .

$\frac{x^{10} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{{(x^{10})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{10})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{10} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{10 \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{x^{10} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{x^{10} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x^{10} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{x^{10} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{10} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{10} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{x^{10} (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Schritt 4.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{10} (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 10$ .

$\frac{x^{10} (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (10 x^{9})}{x^{20}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{10} (2 e^{2 x}) - 10 e^{2 x} x^{9}}{x^{20}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{10} e^{2 x} - 10 e^{2 x} x^{9}}{x^{20}}$

Schritt 5.1.2

Stelle die Faktoren in $2 x^{10} e^{2 x} - 10 e^{2 x} x^{9}$ um.

$\frac{2 x^{10} e^{2 x} - 10 x^{9} e^{2 x}}{x^{20}}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{2 e^{2 x} x^{10} - 10 e^{2 x} x^{9}}{x^{20}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2 e^{2 x} x^{9}$ aus $2 e^{2 x} x^{10} - 10 e^{2 x} x^{9}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2 e^{2 x} x^{9}$ aus $2 e^{2 x} x^{10}$ heraus.

$\frac{2 e^{2 x} x^{9} (x) - 10 e^{2 x} x^{9}}{x^{20}}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $2 e^{2 x} x^{9}$ aus $- 10 e^{2 x} x^{9}$ heraus.

$\frac{2 e^{2 x} x^{9} (x) + 2 e^{2 x} x^{9} (- 5)}{x^{20}}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $2 e^{2 x} x^{9}$ aus $2 e^{2 x} x^{9} (x) + 2 e^{2 x} x^{9} (- 5)$ heraus.

$\frac{2 e^{2 x} x^{9} (x - 5)}{x^{20}}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{9}$ und $x^{20}$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x^{9}$ aus $2 e^{2 x} x^{9} (x - 5)$ heraus.

$\frac{x^{9} (2 e^{2 x} (x - 5))}{x^{20}}$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $x^{9}$ aus $x^{20}$ heraus.

$\frac{x^{9} (2 e^{2 x} (x - 5))}{x^{9} x^{11}}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{9} (2 e^{2 x} (x - 5))}{x^{9} x^{11}}$

Schritt 5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 e^{2 x} (x - 5)}{x^{11}}$