Analysis Beispiele

$y = {(x - 1)}^{2} + 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2} + 1)$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1) + 1]$

Schritt 3.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (x - 1) - 1 (x - 1) + 1]$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1]$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

Schritt 3.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

Schritt 3.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + 1]$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x + 1 + 1]$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1 + 1]$

Schritt 3.4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 1 + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - 2 + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.6.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - 2 + 0 + 0$

Schritt 3.7

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$2 x - 2$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 2 x - 2$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2$