Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16 = 0$

Schritt 1.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{3} - x^{2}) - 48 x + 16 = 0$

Schritt 1.2.2.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (3 x - 1) - 16 (3 x - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(3 x - 1) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$(3 x - 1) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Schritt 1.2.2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.3.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 1.2.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.2.4

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.4.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 1.2.2.4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 1.2.2.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 1.2.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, - 4, 4$

Schritt 1.2.3

Schließe die Lösungen aus, die $0 = \frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$ nicht erfüllen.

$x = \frac{1}{3}, 4$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{1}{3}, 0), (4, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{3 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3 \cdot 0^{3} - {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3 \cdot 0^{3} - 0^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3 \cdot 0^{3} - 0^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $\frac{3 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{3 \cdot 0 - 0^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Schritt 2.2.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y = \frac{0 - 0^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Schritt 2.2.5.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{0 - 0 - 48 \cdot 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Schritt 2.2.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = \frac{0 + 0 - 48 \cdot 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Schritt 2.2.5.1.5

Mutltipliziere $- 48$ mit $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Schritt 2.2.5.1.6

Addiere $0$ und $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Schritt 2.2.5.1.7

Addiere $0$ und $0$ .

$y = \frac{0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Schritt 2.2.5.1.8

Addiere $0$ und $16$ .

$y = \frac{16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{16}{0 + 5 (0) + 4}$

Schritt 2.2.5.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$y = \frac{16}{0 + 0 + 4}$

Schritt 2.2.5.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$y = \frac{16}{0 + 4}$

Schritt 2.2.5.2.4

Addiere $0$ und $4$ .

$y = \frac{16}{4}$

Schritt 2.2.5.3

Dividiere $16$ durch $4$ .

$y = 4$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 4)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{1}{3}, 0), (4, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 4)$

Schritt 4