Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} - \frac{1}{| x |}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| x |}{| x |}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{| x |}{| x |} - \frac{1}{| x |}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{1}{| x |}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{| x |}{| x |} - \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x | x |$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{| x |}{| x |}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{| x |}{x | x |} - \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{| x |}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{| x |}{x | x |} - \frac{x}{| x | x}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $| x | x$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{| x |}{x | x |} - \frac{x}{x | x |}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{| x | - x}{x | x |}$

Schritt 2

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\frac{| x | - x}{x | x |}$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \frac{| x | - x}{x | x |} \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & 0 \end{array}$

Schritt 3

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\frac{| x | - x}{x | x |}$ für $x$ gegen $0$ gleich $0$ .

$0$