Analysis Beispiele

$\frac{\frac{lim_{x \to 4} x}{x + 1} - \frac{4}{5}}{x - 4}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{\frac{4}{x + 1} - \frac{4}{5}}{x - 4}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(x + 1) \cdot 5$ .

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{4}{x + 1} - \frac{4}{5}}{x - 4}$ mit $\frac{(x + 1) \cdot 5}{(x + 1) \cdot 5}$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 5}{(x + 1) \cdot 5} \cdot \frac{\frac{4}{x + 1} - \frac{4}{5}}{x - 4}$

Schritt 2.1.2

Kombinieren.

$\frac{(x + 1) \cdot 5 (\frac{4}{x + 1} - \frac{4}{5})}{(x + 1) \cdot 5 (x - 4)}$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 1) \cdot 5 \frac{4}{x + 1} + (x + 1) \cdot 5 (- \frac{4}{5})}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) \cdot 5$ heraus.

$\frac{(x + 1) (5) \frac{4}{x + 1} + (x + 1) \cdot 5 (- \frac{4}{5})}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) \cdot 5 \frac{4}{x + 1} + (x + 1) \cdot 5 (- \frac{4}{5})}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \cdot 4 + (x + 1) \cdot 5 (- \frac{4}{5})}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20 + (x + 1) \cdot 5 (- \frac{4}{5})}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{5}$ in den Zähler.

$\frac{20 + (x + 1) \cdot 5 \frac{- 4}{5}}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.3.3.2

Faktorisiere $5$ aus $(x + 1) \cdot 5$ heraus.

$\frac{20 + 5 \cdot (x + 1) \frac{- 4}{5}}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 + 5 \cdot (x + 1) \frac{- 4}{5}}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20 + (x + 1) \cdot - 4}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20 + (x + 1) \cdot - 4$ heraus.

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Schritt 2.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{4 (5) + (x + 1) \cdot - 4}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.4.1.2

Faktorisiere $4$ aus $(x + 1) \cdot - 4$ heraus.

$\frac{4 (5) + 4 ((x + 1) \cdot - 1)}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (5) + 4 ((x + 1) \cdot - 1)$ heraus.

$\frac{4 (5 + (x + 1) \cdot - 1)}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (5 + x \cdot - 1 + 1 \cdot - 1)}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.4.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{4 (5 - 1 \cdot x + 1 \cdot - 1)}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 (5 - 1 \cdot x - 1)}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.4.5

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{4 (5 - x - 1)}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.4.6

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.5

Faktorisiere $(x + 1) \cdot 5$ aus $(x + 1) \cdot 5 x + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4$ heraus.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $(x + 1) \cdot 5$ aus $(x + 1) \cdot 5 x$ heraus.

$\frac{4 (- x + 4)}{(x + 1) \cdot 5 (x) + (x + 1) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $(x + 1) \cdot 5$ aus $(x + 1) \cdot 5 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{4 (- x + 4)}{(x + 1) \cdot 5 (x) + (x + 1) \cdot 5 (- 4)}$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $(x + 1) \cdot 5$ aus $(x + 1) \cdot 5 (x) + (x + 1) \cdot 5 (- 4)$ heraus.

$\frac{4 (- x + 4)}{(x + 1) \cdot 5 (x - 4)}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 4$ und $x - 4$ .

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{4 (- (x) + 4)}{(x + 1) \cdot 5 (x - 4)}$

Schritt 2.6.2

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 4))}{(x + 1) \cdot 5 (x - 4)}$

Schritt 2.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{4 (- (x - 4))}{(x + 1) \cdot 5 (x - 4)}$

Schritt 2.6.4

Schreibe $- (x - 4)$ als $- 1 (x - 4)$ um.

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{(x + 1) \cdot 5 (x - 4)}$

Schritt 2.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{(x + 1) \cdot 5 (x - 4)}$

Schritt 2.6.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{(x + 1) \cdot 5}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4}{(x + 1) \cdot 5}$

Schritt 2.8

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$\frac{- 4}{5 \cdot (x + 1)}$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{5 (x + 1)}$