Analysis Beispiele

$lim_{z \to - 1} \frac{3 x^{2} + x + 1}{x^{3} + 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $\frac{3 x^{2} + x + 1}{x^{3} + 1}$ , welcher konstant ist, wenn $z$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{3 x^{2} + x + 1}{x^{3} + 1}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{3 x^{2} + x + 1}{x^{3} + 1^{3}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{3 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}$

Schritt 2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$