Analysis Beispiele

$lim_{y \to 2} \frac{y + 2}{y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{y \to 2} y + 2}{lim_{y \to 2} y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{y \to 2} y + lim_{y \to 2} 2}{lim_{y \to 2} y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $y$ sich $2$ annähert.

$\frac{lim_{y \to 2} y + 2}{lim_{y \to 2} y^{2} + 5 y + 6}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{y \to 2} y + 2}{lim_{y \to 2} y^{2} + lim_{y \to 2} 5 y + lim_{y \to 2} 6}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $y^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{y \to 2} y + 2}{{(lim_{y \to 2} y)}^{2} + lim_{y \to 2} 5 y + lim_{y \to 2} 6}$

Schritt 6

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $y$ ist.

$\frac{lim_{y \to 2} y + 2}{{(lim_{y \to 2} y)}^{2} + 5 lim_{y \to 2} y + lim_{y \to 2} 6}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $y$ sich $2$ annähert.

$\frac{lim_{y \to 2} y + 2}{{(lim_{y \to 2} y)}^{2} + 5 lim_{y \to 2} y + 6}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $y$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $2$ für $y$ .

$\frac{2 + 2}{{(lim_{y \to 2} y)}^{2} + 5 lim_{y \to 2} y + 6}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $2$ für $y$ .

$\frac{2 + 2}{2^{2} + 5 lim_{y \to 2} y + 6}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $2$ für $y$ .

$\frac{2 + 2}{2^{2} + 5 \cdot 2 + 6}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 + 2$ und $2^{2} + 5 \cdot 2 + 6$ .

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1 + 2}{2^{2} + 5 \cdot 2 + 6}$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot 1}{2^{2} + 5 \cdot 2 + 6}$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 \cdot 1$ heraus.

$\frac{2 \cdot (1 + 1)}{2^{2} + 5 \cdot 2 + 6}$

Schritt 9.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$\frac{2 \cdot (1 + 1)}{2 \cdot 2 + 5 \cdot 2 + 6}$

Schritt 9.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $5 \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot (1 + 1)}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 6}$

Schritt 9.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2 + 2 \cdot 5$ heraus.

$\frac{2 \cdot (1 + 1)}{2 \cdot (2 + 5) + 6}$

Schritt 9.1.4.4

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot (1 + 1)}{2 \cdot (2 + 5) + 2 (3)}$

Schritt 9.1.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot (2 + 5) + 2 (3)$ heraus.

$\frac{2 \cdot (1 + 1)}{2 \cdot (2 + 5 + 3)}$

Schritt 9.1.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot (1 + 1)}{2 \cdot (2 + 5 + 3)}$

Schritt 9.1.4.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + 1}{2 + 5 + 3}$

Schritt 9.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{2 + 5 + 3}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.1

Addiere $2$ und $5$ .

$\frac{2}{7 + 3}$

Schritt 9.3.2

Addiere $7$ und $3$ .

$\frac{2}{10}$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $10$ .

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{10}$

Schritt 9.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{5}$

Dezimalform:

$0.2$