Analysis Beispiele

$lim_{y \to 1} \frac{y - 4 \sqrt{y + 3}}{y^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{y \to 1} y - 4 \sqrt{y + 3}}{lim_{y \to 1} y^{2}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{y \to 1} y - lim_{y \to 1} 4 \sqrt{y + 3}}{lim_{y \to 1} y^{2}}$

Schritt 3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $y$ ist.

$\frac{lim_{y \to 1} y - 4 lim_{y \to 1} \sqrt{y + 3}}{lim_{y \to 1} y^{2}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{lim_{y \to 1} y - 4 \sqrt{lim_{y \to 1} y + 3}}{lim_{y \to 1} y^{2}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{y \to 1} y - 4 \sqrt{lim_{y \to 1} y + lim_{y \to 1} 3}}{lim_{y \to 1} y^{2}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $y$ sich $1$ annähert.

$\frac{lim_{y \to 1} y - 4 \sqrt{lim_{y \to 1} y + 3}}{lim_{y \to 1} y^{2}}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $y^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{y \to 1} y - 4 \sqrt{lim_{y \to 1} y + 3}}{{(lim_{y \to 1} y)}^{2}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $y$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $1$ für $y$ .

$\frac{1 - 4 \sqrt{lim_{y \to 1} y + 3}}{{(lim_{y \to 1} y)}^{2}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $1$ für $y$ .

$\frac{1 - 4 \sqrt{1 + 3}}{{(lim_{y \to 1} y)}^{2}}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $1$ für $y$ .

$\frac{1 - 4 \sqrt{1 + 3}}{1^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{1 - 4 \sqrt{4}}{1^{2}}$

Schritt 9.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1 - 4 \sqrt{2^{2}}}{1^{2}}$

Schritt 9.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1 - 4 \cdot 2}{1^{2}}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{1 - 8}{1^{2}}$

Schritt 9.1.5

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$\frac{- 7}{1^{2}}$

Schritt 9.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 7}{1}$

Schritt 9.3

Dividiere $- 7$ durch $1$ .

$- 7$