Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x - \frac{π}{3})}{1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3})}{1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{3}$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{3})}{1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $\frac{π}{3}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{3}$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3})}{1 - \cos (2 x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{3})}{1 - \cos (2 x)}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (\frac{π - π}{3})}{1 - \cos (2 x)}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$\frac{\sin (\frac{0}{3})}{1 - \cos (2 x)}$

Schritt 3.1.3

Dividiere $0$ durch $3$ .

$\frac{\sin (0)}{1 - \cos (2 x)}$

Schritt 3.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 x)}$

Schritt 3.2

Dividiere $0$ durch $1 - \cos (2 x)$ .

$0$