Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 4 x^{2} + x + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{1}{8}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 4 x^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{16}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \frac{1}{8}$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- \frac{1}{8}$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{8}$ für $x$ .

$\frac{4 {(- \frac{1}{8})}^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{8}$ für $x$ .

$\frac{4 {(- \frac{1}{8})}^{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{8}$ an.

$\frac{4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2}) - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{8}$ an.

$\frac{4 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}}) - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4 (1 \frac{1^{2}}{8^{2}}) - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{4 \frac{1^{2}}{8^{2}} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{4 \frac{1}{8^{2}} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.1.5

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{4 (\frac{1}{64}) - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$\frac{4 \frac{1}{4 (16)} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \frac{1}{4 \cdot 16} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{16} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.1.7

Um $- \frac{1}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.1.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.1.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{16} - \frac{2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.1.8.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\frac{1}{16} - \frac{2}{16} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 - 2}{16} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.1.10

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{\frac{- 1}{16} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.1.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 1 + 1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.1.12

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{\frac{0}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.1.13

Dividiere $0$ durch $16$ .

$\frac{0}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Dividiere $0$ durch ${(8 x + 1)}^{2}$ .

$0$