Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{6} + x) - \frac{1}{2}}{x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{6} + x) - lim_{x \to 0} \frac{1}{2}}{x}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} \frac{π}{6} + x) - lim_{x \to 0} \frac{1}{2}}{x}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} \frac{π}{6} + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \frac{1}{2}}{x}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $\frac{π}{6}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sin (\frac{π}{6} + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \frac{1}{2}}{x}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sin (\frac{π}{6} + lim_{x \to 0} x) - \frac{1}{2}}{x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{6} + 0) - \frac{1}{2}}{x}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Addiere $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{6}) - \frac{1}{2}}{x}$

Schritt 3.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{x}$

Schritt 3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 - 1}{2}}{x}$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{x}$

Schritt 3.1.5

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{0}{x}$

Schritt 3.2

Dividiere $0$ durch $x$ .

$0$