Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + e^{x})}{e^{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{x})}{e^{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} e^{x})}{e^{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} x})}{e^{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\ln (0 + e^{lim_{x \to 0} x})}{e^{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\ln (0 + e^{0})}{e^{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{\ln (0 + 1)}{e^{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 5.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{\ln (1)}{e^{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 5.1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{e^{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 5.2

Dividiere $0$ durch $e^{\sin (x)} - \cos (x)$ .

$0$