Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (b x) - 4 \sin (a x)}{b x - a x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (b x) - lim_{x \to 0} 4 \sin (a x)}{b x - a x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} b x) - lim_{x \to 0} 4 \sin (a x)}{b x - a x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $b$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (b lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 4 \sin (a x)}{b x - a x}$

Schritt 4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (b lim_{x \to 0} x) - 4 lim_{x \to 0} \sin (a x)}{b x - a x}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (b lim_{x \to 0} x) - 4 \sin (lim_{x \to 0} a x)}{b x - a x}$

Schritt 6

Ziehe den Term $a$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (b lim_{x \to 0} x) - 4 \sin (a lim_{x \to 0} x)}{b x - a x}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (b \cdot 0) - 4 \sin (a lim_{x \to 0} x)}{b x - a x}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (b \cdot 0) - 4 \sin (a \cdot 0)}{b x - a x}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $b$ mit $0$ .

$\frac{\sin (0) - 4 \sin (a \cdot 0)}{b x - a x}$

Schritt 8.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 - 4 \sin (a \cdot 0)}{b x - a x}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $a$ mit $0$ .

$\frac{0 - 4 \sin (0)}{b x - a x}$

Schritt 8.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 - 4 \cdot 0}{b x - a x}$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{b x - a x}$

Schritt 8.1.6

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{b x - a x}$

Schritt 8.2

Faktorisiere $x$ aus $b x - a x$ heraus.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $x$ aus $b x$ heraus.

$\frac{0}{x b - a x}$

Schritt 8.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- a x$ heraus.

$\frac{0}{x b + x (- a)}$

Schritt 8.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x b + x (- a)$ heraus.

$\frac{0}{x (b - a)}$

Schritt 8.3

Dividiere $0$ durch $x (b - a)$ .

$0$