Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} u^{4} - 1}{u^{3} - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $u^{4} - 1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{u^{4} - 1}{u^{3} - 1}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $u^{4}$ als ${(u^{2})}^{2}$ um.

$\frac{{(u^{2})}^{2} - 1}{u^{3} - 1}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{{(u^{2})}^{2} - 1^{2}}{u^{3} - 1}$

Schritt 2.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = u^{2}$ und $b = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 1)}{u^{3} - 1}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 1^{2})}{u^{3} - 1}$

Schritt 2.1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = u$ und $b = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{u^{3} - 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{u^{3} - 1^{3}}$

Schritt 2.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = u$ und $b = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1^{2})}$

Schritt 2.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1)}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u - 1$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1)}$

Schritt 2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1)}{u^{2} + u + 1}$