Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $\sqrt{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{\sqrt{x^{2} - 2^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{0}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$0$