Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 4} 3 x^{2} - 17 x + 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} 3 x^{2} - lim_{x \to 4} 17 x + lim_{x \to 4} 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Schritt 2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 17 x + lim_{x \to 4} 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 17 x + lim_{x \to 4} 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Schritt 4

Ziehe den Term $17$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 17 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $20$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 17 lim_{x \to 4} x + 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2} - 17 lim_{x \to 4} x + 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2} - 17 \cdot 4 + 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{3 \cdot 16 - 17 \cdot 4 + 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$\frac{48 - 17 \cdot 4 + 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $- 17$ mit $4$ .

$\frac{48 - 68 + 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Schritt 7.1.4

Subtrahiere $68$ von $48$ .

$\frac{- 20 + 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Schritt 7.1.5

Addiere $- 20$ und $20$ .

$\frac{0}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Schritt 7.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 36 = 144$ und deren Summe gleich $b = - 25$ ist.

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Schritt 7.2.1.1

Faktorisiere $- 25$ aus $- 25 x$ heraus.

$\frac{0}{4 x^{2} - 25 (x) + 36}$

Schritt 7.2.1.2

Schreibe $- 25$ um als $- 9$ plus $- 16$

$\frac{0}{4 x^{2} + (- 9 - 16) x + 36}$

Schritt 7.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0}{4 x^{2} - 9 x - 16 x + 36}$

Schritt 7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{0}{(4 x^{2} - 9 x) - 16 x + 36}$

Schritt 7.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{0}{x (4 x - 9) - 4 (4 x - 9)}$

Schritt 7.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 9$ .

$\frac{0}{(4 x - 9) (x - 4)}$

Schritt 7.3

Dividiere $0$ durch $(4 x - 9) (x - 4)$ .

$0$