Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} \frac{3 n^{2} + 4 n + 5}{2 n^{2} - 3 n + 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} 3 n^{2} + 4 n + 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} 3 n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\frac{3 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $n^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Schritt 5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 1}$

Schritt 8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 1}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $n^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 1}$

Schritt 10

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + 1}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + 1}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + 1}$

Schritt 12.3

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + 1}$

Schritt 12.4

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{3 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $64$ .

$\frac{192 + 4 \cdot 8 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$\frac{192 + 32 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Schritt 13.1.4

Addiere $192$ und $32$ .

$\frac{224 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Schritt 13.1.5

Addiere $224$ und $5$ .

$\frac{229}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{229}{2 \cdot 64 - 3 \cdot 8 + 1}$

Schritt 13.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{229}{128 - 3 \cdot 8 + 1}$

Schritt 13.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$\frac{229}{128 - 24 + 1}$

Schritt 13.2.4

Subtrahiere $24$ von $128$ .

$\frac{229}{104 + 1}$

Schritt 13.2.5

Addiere $104$ und $1$ .

$\frac{229}{105}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{229}{105}$

Dezimalform:

$2.18095238 \dots$