Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} {(1 + \sin (x))}^{\csc (x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(1 + \sin (x))}^{\csc (x)}$ als $e^{\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})}$ um.

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})$ durch Herausziehen von $\csc (x)$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 8} e^{\csc (x) \ln (1 + \sin (x))}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 8} \csc (x) \ln (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{x \to 8} \csc (x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosekans stetig ist.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.4

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + \sin (x))}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \sin (x))}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (1 + lim_{x \to 8} \sin (x))}$

Schritt 2.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (1 + \sin (lim_{x \to 8} x))}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{\csc (8) \cdot \ln (1 + \sin (lim_{x \to 8} x))}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{\csc (8) \cdot \ln (1 + \sin (8))}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Berechne $\csc (8)$ .

$e^{7.18529653 \cdot \ln (1 + \sin (8))}$

Schritt 4.2

Vereinfache $7.18529653 \cdot \ln (1 + \sin (8))$ , indem du $7.18529653$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{\ln ({(1 + \sin (8))}^{7.18529653})}$

Schritt 4.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(1 + \sin (8))}^{7.18529653}$

Schritt 4.4

Berechne $\sin (8)$ .

${(1 + 0.1391731)}^{7.18529653}$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $0.1391731$ .

${1.1391731}^{7.18529653}$

Schritt 4.6

Potenziere $1.1391731$ mit $7.18529653$ .

$2.55043306$