Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \frac{12 + \sqrt{x}}{\sqrt{12 + x}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} 12 + \sqrt{x}}{lim_{x \to 4} \sqrt{12 + x}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} 12 + lim_{x \to 4} \sqrt{x}}{lim_{x \to 4} \sqrt{12 + x}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{12 + lim_{x \to 4} \sqrt{x}}{lim_{x \to 4} \sqrt{12 + x}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{12 + \sqrt{lim_{x \to 4} x}}{lim_{x \to 4} \sqrt{12 + x}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{12 + \sqrt{lim_{x \to 4} x}}{\sqrt{lim_{x \to 4} 12 + x}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{12 + \sqrt{lim_{x \to 4} x}}{\sqrt{lim_{x \to 4} 12 + lim_{x \to 4} x}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{12 + \sqrt{lim_{x \to 4} x}}{\sqrt{12 + lim_{x \to 4} x}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{12 + \sqrt{4}}{\sqrt{12 + lim_{x \to 4} x}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{12 + \sqrt{4}}{\sqrt{12 + 4}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{12 + \sqrt{2^{2}}}{\sqrt{12 + 4}}$

Schritt 9.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{12 + 2}{\sqrt{12 + 4}}$

Schritt 9.1.3

Addiere $12$ und $2$ .

$\frac{14}{\sqrt{12 + 4}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Addiere $12$ und $4$ .

$\frac{14}{\sqrt{16}}$

Schritt 9.2.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{14}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 9.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{14}{4}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $4$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\frac{2 (7)}{4}$

Schritt 9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{7}{2}$

Dezimalform:

$3.5$