Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} \frac{1 + 2 + 3 + n}{3 n + 1} - \frac{n}{6}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$lim_{n \to 8} \frac{1 + 2 + 3 + n}{3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} 1 + 2 + 3 + n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} 1 + lim_{n \to 8} 2 + lim_{n \to 8} 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{1 + lim_{n \to 8} 2 + lim_{n \to 8} 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{1 + 2 + lim_{n \to 8} 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Schritt 8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{3 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{3 lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Schritt 10

Ziehe den Term $\frac{1}{6}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{3 lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{1}{6} lim_{n \to 8} n$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + 8}{3 lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{1}{6} lim_{n \to 8} n$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + 8}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} lim_{n \to 8} n$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + 8}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{3 + 3 + 8}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Schritt 12.2

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{6 + 8}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Schritt 12.3

Addiere $6$ und $8$ .

$\frac{14}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Schritt 12.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{14}{24 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Schritt 12.4.1.2

Addiere $24$ und $1$ .

$\frac{14}{25} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Schritt 12.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{6}$ in den Zähler.

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{6} \cdot 8$

Schritt 12.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 8$

Schritt 12.4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 12.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 12.4.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{3} \cdot 4$

Schritt 12.4.3

Kombiniere $\frac{- 1}{3}$ und $4$ .

$\frac{14}{25} + \frac{- 1 \cdot 4}{3}$

Schritt 12.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{14}{25} + \frac{- 4}{3}$

Schritt 12.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{14}{25} - \frac{4}{3}$

Schritt 12.5

Um $\frac{14}{25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{25} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 12.6

Um $- \frac{4}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$\frac{14}{25} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{25}{25}$

Schritt 12.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $75$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.7.1

Mutltipliziere $\frac{14}{25}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14 \cdot 3}{25 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{25}{25}$

Schritt 12.7.2

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$\frac{14 \cdot 3}{75} - \frac{4}{3} \cdot \frac{25}{25}$

Schritt 12.7.3

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$\frac{14 \cdot 3}{75} - \frac{4 \cdot 25}{3 \cdot 25}$

Schritt 12.7.4

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$\frac{14 \cdot 3}{75} - \frac{4 \cdot 25}{75}$

Schritt 12.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{14 \cdot 3 - 4 \cdot 25}{75}$

Schritt 12.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.9.1

Mutltipliziere $14$ mit $3$ .

$\frac{42 - 4 \cdot 25}{75}$

Schritt 12.9.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$\frac{42 - 100}{75}$

Schritt 12.9.3

Subtrahiere $100$ von $42$ .

$\frac{- 58}{75}$

Schritt 12.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{58}{75}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{58}{75}$

Dezimalform:

$- 0.77\overline{3}$