Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{4}} {\tan (x)}^{\tan (x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${\tan (x)}^{\tan (x)}$ als $e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (x)})}$ um.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (x)})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\tan (x)}^{\tan (x)})$ durch Herausziehen von $\tan (x)$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\tan (x) \ln (\tan (x))}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) \ln (\tan (x))}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \ln (\tan (x))}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$e^{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \ln (\tan (x))}$

Schritt 2.4

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot \ln (lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x))}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$e^{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot \ln (\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x))}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$e^{\tan (\frac{π}{4}) \cdot \ln (\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x))}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$e^{\tan (\frac{π}{4}) \cdot \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$e^{1 \cdot \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 4.2

Vereinfache $1 \cdot \ln (\tan (\frac{π}{4}))$ , indem du $1$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{\ln (\tan^{1} (\frac{π}{4}))}$

Schritt 4.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\tan^{1} (\frac{π}{4})$

Schritt 4.4

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$1^{1}$

Schritt 4.5

Berechne den Exponenten.

$1$