Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{4}} {\tan (x)}^{\tan (2 x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${\tan (x)}^{\tan (2 x)}$ als $e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$ um.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})$ durch Herausziehen von $\tan (2 x)$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Schritt 3

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ zeigt, wenn sich $x$ von links $\frac{π}{4}$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \ln (\tan (x)) \\ 0.68539816 & - 0.99327506 \\ 0.77539816 & - 0.99993332 \\ 0.78439816 & - 0.99999933 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $\frac{π}{4}$ nähern sich die Funktionswerte $- 1$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ für $x$ gegen $\frac{π}{4}$ gleich $- 1$ .

$- 1$

Schritt 6

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))$

Schritt 7

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $\frac{π}{4}$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \ln (\tan (x)) \\ 0.88539816 & - 0.99327506 \\ 0.79539816 & - 0.99993332 \\ 0.78639816 & - 0.99999933 \end{array}$

Schritt 8

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $\frac{π}{4}$ nähern sich die Funktionswerte $- 1$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ für $x$ gegen $\frac{π}{4}$ gleich $- 1$ .

$e^{- 1}$

Schritt 9

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{e}$

Dezimalform:

$0.36787944 \dots$