Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} {\tan (x)}^{\cos (x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${\tan (x)}^{\cos (x)}$ als $e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$ um.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})$ durch Herausziehen von $\cos (x)$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Schritt 2

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Schritt 3

Berechne den linksseitigen Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (x) \ln (\tan (x))}$

Schritt 3.2

Schreibe $\cos (x) \ln (\tan (x))$ als $\frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}$ um.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}}$

Schritt 3.3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \ln (\tan (x))}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

Schritt 3.3.1.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

Schritt 3.3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.3.1.3.1

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sec (x)}}$

Schritt 3.3.1.3.2

Wenn sich die $x$ -Werte von links an $\frac{π}{2}$ annähern, nehmen die Funktionswerte ohne Schranke zu.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 3.3.1.3.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 3.3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 3.3.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}$

Schritt 3.3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

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Schritt 3.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.5

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.6.1

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.6.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.7

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.8

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $\sec^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \sec^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.9

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.9.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.9.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.3.3.9.1.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.9.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.9.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1^{2}}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.9.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.9.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.3.9.2.1

Schreibe $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ als ein Produkt um.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.9.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Schritt 3.3.3.10

Schreibe $\frac{1}{\cos (x)}$ als $\cos^{- 1} (x)$ um.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)]}}$

Schritt 3.3.3.11

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.3.3.11.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Schritt 3.3.3.11.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Schritt 3.3.3.11.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Schritt 3.3.3.12

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \cdot - 1 \sin (x)}}$

Schritt 3.3.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.3.3.14

Mutltipliziere $\cos^{- 2} (x)$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.3.3.15

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.15.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)}}$

Schritt 3.3.3.15.2

Kombiniere $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ und $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 3.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3.3.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 3.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.3.5.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.3.5.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}}$

Schritt 3.3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}}}$

Schritt 3.3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Schritt 3.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos^{2} (x)$ und $\cos (x)$ .

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Schritt 3.3.6.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Schritt 3.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.6.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \sin^{2} (x)$ heraus.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (\sin^{2} (x))}}$

Schritt 3.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Schritt 3.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 3.3.7

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.3.8

Separiere Brüche.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3.3.9

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)}$

Schritt 3.3.10

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cot (x)}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

Schritt 3.4.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosekans stetig ist.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

Schritt 3.4.3

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

Schritt 3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

Schritt 3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

Schritt 3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.6.1

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$e^{1 \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $\cot (\frac{π}{2})$ mit $1$ .

$e^{\cot (\frac{π}{2})}$

Schritt 3.6.3

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$e^{0}$

Schritt 3.7

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1$

Schritt 4

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte, indem du den Wert für die Variable einsetzt.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\tan (\frac{π}{2}))}$

Schritt 5.2

Schreibe $\tan (\frac{π}{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (\frac{π}{2})})}$

Schritt 5.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$

Schritt 5.4

Da $e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$ nicht definiert ist, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 6

Wenn einer der beiden einseitigen Grenzwerte nicht existiert, dann existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$