Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} - 1}{2 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} - 1}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{8 x} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{8 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} 8 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.3

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{8 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{8 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{8 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{8 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{8 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{8 x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} \cdot 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} \cdot 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} \cdot 8 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.5

Bringe $8$ auf die linke Seite von $e^{8 x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{8 e^{8 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{8 e^{8 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Addiere $8 e^{8 x}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{8 e^{8 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{8 e^{8 x}}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $8 e^{8 x}$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 8 e^{8 x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot 8 lim_{x \to 0} e^{8 x}$

Schritt 3.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot 8 e^{lim_{x \to 0} 8 x}$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot 8 e^{8 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 8 e^{8 \cdot 0}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot (2 (4)) e^{8 \cdot 0}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4) e^{8 \cdot 0}$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$4 e^{8 \cdot 0}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$4 e^{0}$

Schritt 5.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$