Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} {(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)}$ als $e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)})}$ um.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)})$ durch Herausziehen von $\cot (x)$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Schritt 3

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x)) \\ - 0.1 & 4.91697664 \\ - 0.01 & 4.08095239 \\ - 0.001 & 4.00800935 \\ - 0.0001 & 4.00080009 \\ - 0.00001 & 4.00008 \\ - 0.000001 & 4.000008 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $4$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ für $x$ gegen $0$ gleich $4$ .

$4$

Schritt 6

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$

Schritt 7

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x)) \\ 0.1 & 3.27788185 \\ 0.01 & 3.92091504 \\ 0.001 & 3.99200931 \\ 0.0001 & 3.99920009 \\ 0.00001 & 3.99992 \\ 0.000001 & 3.99999199 \end{array}$

Schritt 8

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $4$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ für $x$ gegen $0$ gleich $4$ .

$e^{4}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{4}$

Dezimalform:

$54.59815003 \dots$