Analysis Beispiele

lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\cot (3 x)}

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\cot (3 x)}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe

\cot (3 x)

$\cot (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Schritt 1.2

Schreibe

\cot (4 x)

$\cot (4 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Schritt 1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch

\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}

$\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ zu dividieren.

lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wandle von

\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}

$\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}$ nach

\cot (4 x)

$\cot (4 x)$ um.

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Schritt 1.4.2

Wandle von

\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ nach

\tan (3 x)

$\tan (3 x)$ um.

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)$

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)$

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)$

Schritt 2

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

lim_{x \to 0^{-}} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (4 x) \tan (3 x)$

Schritt 3

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ zeigt, wenn sich

x

$x$ von links

0

$0$ annähert.

\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ - 0.1 & 0.73164903 \\ - 0.01 & 0.74982491 \\ - 0.001 & 0.74999824 \end{array}

$\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ - 0.1 & 0.73164903 \\ - 0.01 & 0.74982491 \\ - 0.001 & 0.74999824 \end{array}$

Schritt 4

Mit Annäherung der

x

$x$ -Werte an

0

$0$ nähern sich die Funktionswerte

0.75

$0.75$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ für

x

$x$ gegen

0

$0$ gleich

0.75

$0.75$ .

0.75

$0.75$

Schritt 5

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

lim_{x \to 0^{+}} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (4 x) \tan (3 x)$

Schritt 6

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ zeigt, wenn sich

x

$x$ von rechts

0

$0$ annähert.

\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ 0.1 & 0.73164903 \\ 0.01 & 0.74982491 \\ 0.001 & 0.74999824 \end{array}

$\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ 0.1 & 0.73164903 \\ 0.01 & 0.74982491 \\ 0.001 & 0.74999824 \end{array}$

Schritt 7

Mit Annäherung der

x

$x$ -Werte an

0

$0$ nähern sich die Funktionswerte

0.75

$0.75$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ für

x

$x$ gegen

0

$0$ gleich

0.75

$0.75$ .

0.75

$0.75$