Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{3 x^{2}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{x^{2}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot (1 - \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot (1 - \cos (0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.7.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot (1 - \cos (0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.7.2.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.7.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot (1 - 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.7.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.7.4

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.7

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot 1 \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.11

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.13

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.14

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.15

Vereinfache.

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Schritt 2.3.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + 1 \cos (x) - \cos (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.15.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.15.2.1

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.15.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{1} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.15.2.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.15.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.15.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{2 x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{x}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (0) + \cos (lim_{x \to 0} x) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (0) + \cos (0) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (0) + \cos (0) - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.8.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0^{2} + \cos (0) - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.8.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + \cos (0) - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.8.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 1 - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.8.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 1 - 1^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.8.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.8.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.8.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.8.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Schritt 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Schritt 4.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 4.3.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 4.3.5.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.5.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - 1 \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.5.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - 1 \cdot 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.5.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - 1 \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - - 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.5.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.6

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.6.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (x) \cos (x)$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.6.2

Addiere $2 \cos (x) \sin (x)$ und $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)}{1}$

Schritt 4.4

Dividiere $4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} 4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 4 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

Schritt 5.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

Schritt 5.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

Schritt 5.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

Schritt 5.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (0))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Multipliziere $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (0))$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{6} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (0))$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{6} (4 \cdot 1 \cdot \sin (0) - \sin (0))$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} (4 \cdot \sin (0) - \sin (0))$

Schritt 7.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{6} (4 \cdot 0 - \sin (0))$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{6} (0 - \sin (0))$

Schritt 7.2.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{6} (0 - 0)$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + 0)$

Schritt 7.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 0$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $0$ .

$0$