Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{{(x + 3)}^{2} - 9}{2 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{{(x + 3)}^{2} - 9}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(x + 3)}^{2} - 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(x + 3)}^{2} - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x + 3)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x + 3)}^{2} - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3)}^{2} - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x + 3)}^{2} - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x + 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(0 + 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Addiere $0$ und $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{{(x + 3)}^{2} - 9}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Schreibe ${(x + 3)}^{2}$ als $(x + 3) (x + 3)$ um.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3) - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $(x + 3) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (x + 3) + 3 (x + 3) - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9 - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 6 x + 9 - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 2.3.7.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.8

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 + 0 + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.9

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.10

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.10.1

Addiere $2 x + 6$ und $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.10.2

Addiere $2 x + 6$ und $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $2 x + 6$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 2 x + 6$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 6)$

Schritt 3.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6)$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x + 6)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 0 + 6)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 6)$

Schritt 5.2

Addiere $0$ und $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot (2 (3))$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$3$