Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \sqrt[4]{\frac{7 + 81 x^{2}}{x^{2} + 8}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt[4]{lim_{x \to 8} \frac{7 + 81 x^{2}}{x^{2} + 8}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to 8} 7 + 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to 8} 7 + lim_{x \to 8} 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt[4]{\frac{7 + lim_{x \to 8} 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $81$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 8^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 8^{2}}{8^{2} + 8}}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 64}{8^{2} + 8}}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $81$ mit $64$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 5184}{8^{2} + 8}}$

Schritt 11.3

Addiere $7$ und $5184$ .

$\sqrt[4]{\frac{5191}{8^{2} + 8}}$

Schritt 11.4

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\sqrt[4]{\frac{5191}{64 + 8}}$

Schritt 11.5

Addiere $64$ und $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{5191}{72}}$

Schritt 11.6

Schreibe $\sqrt[4]{\frac{5191}{72}}$ als $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$

Schritt 11.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$

Schritt 11.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{\sqrt[4]{72} {\sqrt[4]{72}}^{3}}$

Schritt 11.8.2

Potenziere $\sqrt[4]{72}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{1} {\sqrt[4]{72}}^{3}}$

Schritt 11.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{1 + 3}}$

Schritt 11.8.4

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{4}}$

Schritt 11.8.5

Schreibe ${\sqrt[4]{72}}^{4}$ als $72$ um.

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Schritt 11.8.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{72}$ als $72^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{(72^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Schritt 11.8.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Schritt 11.8.5.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 11.8.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 11.8.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 11.8.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{1}}$

Schritt 11.8.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72}$

Schritt 11.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.9.1

Schreibe ${\sqrt[4]{72}}^{3}$ als $\sqrt[4]{72^{3}}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{72^{3}}}{72}$

Schritt 11.9.2

Potenziere $72$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{373248}}{72}$

Schritt 11.9.3

Schreibe $373248$ als $12^{4} \cdot 18$ um.

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Schritt 11.9.3.1

Faktorisiere $20736$ aus $373248$ heraus.

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{20736 (18)}}{72}$

Schritt 11.9.3.2

Schreibe $20736$ als $12^{4}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{12^{4} \cdot 18}}{72}$

Schritt 11.9.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt[4]{5191} \cdot 12 \sqrt[4]{18}}{72}$

Schritt 11.9.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 11.9.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{12 \sqrt[4]{5191 \cdot 18}}{72}$

Schritt 11.9.5.2

Mutltipliziere $5191$ mit $18$ .

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{72}$

Schritt 11.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $72$ .

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Schritt 11.10.1

Faktorisiere $12$ aus $12 \sqrt[4]{93438}$ heraus.

$\frac{12 (\sqrt[4]{93438})}{72}$

Schritt 11.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.10.2.1

Faktorisiere $12$ aus $72$ heraus.

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{12 \cdot 6}$

Schritt 11.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{12 \cdot 6}$

Schritt 11.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt[4]{93438}}{6}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt[4]{93438}}{6}$

Dezimalform:

$2.91393347 \dots$