Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{(\frac{1}{x} - \frac{1}{2})}{x - 2}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x - 2}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x}}{x - 2}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x}}{x - 2}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x \cdot 2} - \frac{x}{2 x}}{x - 2}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $x \cdot 2$ um.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 x} - \frac{x}{2 x}}{x - 2}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 - x}{2 x}}{x - 2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 2} \frac{2 - x}{2 x} \cdot \frac{1}{x - 2}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{2 - x}{2 x}$ mit $\frac{1}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 - x}{2 x (x - 2)}$

Schritt 2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 - x$ und $x - 2$ .

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Schritt 2.1.3.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 (- 2) - x}{2 x (x - 2)}$

Schritt 2.1.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 (- 2) - (x)}{2 x (x - 2)}$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - (x)$ heraus.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 (- 2 + x)}{2 x (x - 2)}$

Schritt 2.1.3.4

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 (x - 2)}{2 x (x - 2)}$

Schritt 2.1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 (x - 2)}{2 x (x - 2)}$

Schritt 2.1.3.6

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{2 x}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{- 1}{x}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} - 1}{lim_{x \to 2} x}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $- 1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 2} x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.2

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{4}$

Dezimalform:

$- 0.25$