Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} \frac{x - 2}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} x - 2}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 1}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 2}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 1}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 1}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} 1}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 1}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{- 8 - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 1}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{- 8 - 1 \cdot 2}{{(- 8)}^{2} + 1}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 8 - 2}{{(- 8)}^{2} + 1}$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $2$ von $- 8$ .

$\frac{- 10}{{(- 8)}^{2} + 1}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$\frac{- 10}{64 + 1}$

Schritt 8.2.2

Addiere $64$ und $1$ .

$\frac{- 10}{65}$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $65$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $5$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{5 (- 2)}{65}$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $65$ heraus.

$\frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 13}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 13}$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{13}$

Schritt 8.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{13}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{2}{13}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{153846}$