Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{49 x^{2}}{2 + 4 x^{2}}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{49 x^{2}}{2 + 4 x^{2}}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $49$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{49 lim_{x \to 8} \frac{x^{2}}{2 + 4 x^{2}}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{49 \frac{lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} 2 + 4 x^{2}}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 2 + 4 x^{2}}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} 4 x^{2}}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{2 + lim_{x \to 8} 4 x^{2}}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{2 + 4 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{2 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{49 \frac{8^{2}}{2 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{49 \frac{8^{2}}{2 + 4 \cdot 8^{2}}}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kombiniere $49$ und $\frac{8^{2}}{2 + 4 \cdot 8^{2}}$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 8^{2}}{2 + 4 \cdot 8^{2}}}$

Schritt 10.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 8^{2}}{2 + 4 \cdot 64}}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 8^{2}}{2 + 256}}$

Schritt 10.4

Addiere $2$ und $256$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 8^{2}}{258}}$

Schritt 10.5

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 64}{258}}$

Schritt 10.6

Mutltipliziere $49$ mit $64$ .

$\sqrt{\frac{3136}{258}}$

Schritt 10.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3136$ und $258$ .

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Schritt 10.7.1

Faktorisiere $2$ aus $3136$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (1568)}{258}}$

Schritt 10.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $258$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1568}{2 \cdot 129}}$

Schritt 10.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1568}{2 \cdot 129}}$

Schritt 10.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1568}{129}}$

Schritt 10.8

Schreibe $\sqrt{\frac{1568}{129}}$ als $\frac{\sqrt{1568}}{\sqrt{129}}$ um.

$\frac{\sqrt{1568}}{\sqrt{129}}$

Schritt 10.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.9.1

Schreibe $1568$ als $28^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 10.9.1.1

Faktorisiere $784$ aus $1568$ heraus.

$\frac{\sqrt{784 (2)}}{\sqrt{129}}$

Schritt 10.9.1.2

Schreibe $784$ als $28^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{28^{2} \cdot 2}}{\sqrt{129}}$

Schritt 10.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{28 \sqrt{2}}{\sqrt{129}}$

Schritt 10.10

Mutltipliziere $\frac{28 \sqrt{2}}{\sqrt{129}}$ mit $\frac{\sqrt{129}}{\sqrt{129}}$ .

$\frac{28 \sqrt{2}}{\sqrt{129}} \cdot \frac{\sqrt{129}}{\sqrt{129}}$

Schritt 10.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.11.1

Mutltipliziere $\frac{28 \sqrt{2}}{\sqrt{129}}$ mit $\frac{\sqrt{129}}{\sqrt{129}}$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{\sqrt{129} \sqrt{129}}$

Schritt 10.11.2

Potenziere $\sqrt{129}$ mit $1$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{\sqrt{129}}^{1} \sqrt{129}}$

Schritt 10.11.3

Potenziere $\sqrt{129}$ mit $1$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{\sqrt{129}}^{1} {\sqrt{129}}^{1}}$

Schritt 10.11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{\sqrt{129}}^{1 + 1}}$

Schritt 10.11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{\sqrt{129}}^{2}}$

Schritt 10.11.6

Schreibe ${\sqrt{129}}^{2}$ als $129$ um.

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Schritt 10.11.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{129}$ als $129^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{(129^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10.11.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 10.11.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.11.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.11.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.11.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129^{1}}$

Schritt 10.11.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129}$

Schritt 10.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.12.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{28 \sqrt{129 \cdot 2}}{129}$

Schritt 10.12.2

Mutltipliziere $129$ mit $2$ .

$\frac{28 \sqrt{258}}{129}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{28 \sqrt{258}}{129}$

Dezimalform:

$3.48640771 \dots$