Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 9} - \sqrt{4 x^{2} - 5}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 9} - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} - 5}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 9} - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} - 5}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 9} - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} - 5}$

Schritt 4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 9} - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} - 5}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 9} - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} - 5}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9} - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} - 5}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9} - \sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - 5}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9} - \sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} 5}$

Schritt 9

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9} - \sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 5}$

Schritt 10

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9} - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 5}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9} - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 5}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{4 \cdot 8^{2} + 9} - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 5}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{4 \cdot 8^{2} + 9} - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 5}$

Schritt 13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 64 + 9} - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 5}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$\sqrt{256 + 9} - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 5}$

Schritt 13.3

Addiere $256$ und $9$ .

$\sqrt{265} - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 5}$

Schritt 13.4

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\sqrt{265} - \sqrt{4 \cdot 64 - 1 \cdot 5}$

Schritt 13.5

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$\sqrt{265} - \sqrt{256 - 1 \cdot 5}$

Schritt 13.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\sqrt{265} - \sqrt{256 - 5}$

Schritt 13.7

Subtrahiere $5$ von $256$ .

$\sqrt{265} - \sqrt{251}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{265} - \sqrt{251}$

Dezimalform:

$0.43584107 \dots$